Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的點P到左、右兩焦點F₁、F₂的距離之和為2

2

，離心率e=

2

2

（I）求橢圓的方程；
（II）過右焦點F₂且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓于A，B兩點，試問：險段OF₂上是否存在一點M，使得|MA|=|MB|？請作出并證明．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點P到左、右兩焦點F₁、F₂的距離之和求得a，進而根據(jù)離心率e求得c，再根據(jù)b=

a2-c2

求得b，橢圓的方程可得．
（II）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中點C（x₀，y₀），根據(jù)韋達定理可得x₁+x₂的表達式，根據(jù)x₀=

x1+x2

2

進而可得x₀和y₀的表達式，再根據(jù)設(shè)滿足條件的點M（m，0），根據(jù)CM⊥AB，k_CM•k_AB=-1，代入即可得到m和k的關(guān)系式，進而根據(jù)k的范圍確定m的范圍，進而判斷存在滿足條件的點M．

解答：解：（I）橢圓的方程圓

x2

a2

+

y2

b2

=1設(shè)a＞b
∵點P到左、右兩焦點F₁、F₂的距離之和為2

2

，
∴2a=2

2

，a=

2

∵離心率e=

c

a

=

2

2

，
∴c=1，b=

a2-c2

=1
∴所求橢圓的方程為

x2

2

+y2= 1
（II）存在滿足條件的M，
證明：設(shè)直線的方程為y=k（x-1）（k≠0）
由

x2+2y22 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中點C（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

∴x₀=

x1+x2

2

=

2k2

1+2k2

，y₀=k（x₀-1）=-

k

1+2k2

再設(shè)滿足條件的點M（m，0），則0≤m≤1，
所以CM⊥AB，則k_CM•k_AB=-1
由k_CM=

k  1+2k2 -0

2k2 1+2k2 -m

=

- k  1+2k2

2k2 1+2k2 -m

∴

- k  1+2k2

2k2 1+2k2 -m

•k=-1，解得m=

1

2+ 1 k2

∵k²＞0，可得0＜m＜

1

2

，故存在滿足條件的點M．

點評：本題主要考查了橢圓與直線的關(guān)系和橢圓的標準方程問題．圓錐曲線的問題是歷年來高考中重點考查的題型，故應加強這方面的復習．