Question

如圖，函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d圖象與x軸相切于原點．
（1）求證：b＞0
（2）已知x₁=1，設(shè)g（x）=ex²，若在[0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可得到函數(shù)在x=0處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)都等于0，就可求出c，d的值，再通過圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到導(dǎo)數(shù)取正值和負(fù)值的范圍，因為導(dǎo)數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)何時取正值，何時取負(fù)值，就可判斷a的符號，和對稱軸的符號，進(jìn)而得到b的范圍．
（2）先由x₁=1，得f′（1）=0，從而f（x）=-

1

3

bx³+bx²，再構(gòu)造新函數(shù)h（x））=f（x）-g（x）=-

1

3

bx³+（b-e）x²=x²（-

1

3

bx+b-e），若在[0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，只需h（x）＞0在[0，e]上有解，即-

1

3

bx+b-e＞0在[0，e]上有解，最后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-

1

3

bx+b-e在[0，e]上的最大值問題即可

解答：解：（1）證明：

f(0)=0 f′(0)=0

⇒f(x)=ax3+bx2=x2(ax+b)
∴f′（x）=3ax²+bx，通過圖象可得出，
當(dāng)x＜0時，原函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜x₁時，原函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＞x₁時，原函數(shù)為減函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，導(dǎo)數(shù)小于0，當(dāng)0＜x＜x₁時，導(dǎo)數(shù)大于0，當(dāng)x＞x₁時，導(dǎo)數(shù)小于0，
∴導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax²+bx圖象為開口向下的拋物線，且對稱軸在0和x₁之間
∴a＜0，-

b

6a

＞0，∴b＞0
（2）解：∵f′（1）=0，∴b=-3a，∴f（x）=-

1

3

bx³+bx²
令h（x）=f（x）-g（x）=-

1

3

bx³+（b-e）x²=x²（-

1

3

bx+b-e）
若在[0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立
即h（x）＞0在[0，e]上有解，即-

1

3

bx+b-e＞0在[0，e]上有解
只需y=-

1

3

bx+b-e在[0，e]上的最大值大于零，
∵b＞0
∴y=-

1

3

bx+b-e在[0，e]上的最大值為b-e
∴b＞e即可

點評：本題考察了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，解題時要透徹理解函數(shù)性質(zhì)與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，準(zhǔn)確解題