Question

已知函數(shù)，x∈R其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，找出導(dǎo)函數(shù)的零點，把定義域由零點分成幾個區(qū)間判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)在個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）中秋出的單調(diào)區(qū)間，說明函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)零點和方程根的轉(zhuǎn)化列式可求a的范圍．
解答：解：由，得f^′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f^′（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
當x∈（-∞，-1）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當x∈（-1，a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當x∈（a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（a，+∞）；減區(qū)間為（-1，a）．
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點當且僅當解得0＜a＜．
所以a的取值范圍是（0，）．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．