Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，E為棱BB₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）是否存在一點(diǎn)E，使得B₁D∥平面AEC？若存在，求

B1E

BE

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證：AC⊥D₁E，只要證明AC⊥D₁E所在的平面BB₁D₁D即可，利用長方體的性質(zhì)即可證明AC⊥平面BB₁D₁D，從而問題得證；
（Ⅱ）因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，所以可取BB₁的中點(diǎn)E，連結(jié)OE后利用三角形中位線的性質(zhì)得到OE∥DB₁，從而得到B₁D∥平面AEC，進(jìn)一步得到

B1E

BE

的值．

解答：（Ⅰ）證明：連接BD

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴D₁D⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD
∴D₁D⊥AC
在長方形ABCD中，AB=BC
∴BD⊥AC
又BD∩D₁D=D
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
而D₁E?平面BB₁D₁D
∴AC⊥D₁E
（Ⅱ）存在一點(diǎn)E，使得B₁D∥平面AEC，此時

B1E

BE

=1．
當(dāng)

B1E

BE

=1時，E為B₁B中點(diǎn)
設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，則O為BD中點(diǎn)
連接OE，在三角形BB₁D中，OE∥B₁D，B₁D?平面AEC，OE?平面AEC
∴B₁D∥平面AEC．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．