Question

如圖，已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁與底面垂直，且AB＝AC，CC₁＝BC₁，∠BAC＝90°，∠BCC₁＝60°．

(Ⅰ)求證：BC₁⊥AC；

(Ⅱ)若N為A₁C₁的中點，問側棱BB₁上是否存在一點M，使MN∥平面ABC₁成立，并說明理由；

(Ⅲ)求二面角B₁－BC₁－A的大小(用反三角函數表示)

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)由題意側面底面，且

　　平面，

　　，且，為等邊三角形，

　　，，

　　又，

　　∵平面，∴在平面上的射影為，

　　∴．　　4分;

　　(Ⅱ)當為側棱的中點時，有平面成立，證明如下：

　　分別取中點，連接，則．

　　∴平面，平面，∴平面平面，

　　∴平面．　　8分;

　　(Ⅲ)取的中點，連接，則有，

　　∴為二面角的平面角，　　10分

　　在中，

　　

　　∴．　　12分

　　∴二面角的大小為．

　　∴二面角的大小為．　　14分