Question

已知向量

a

=（sin（ωx+φ），2），

b

=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜

π

4

．函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

），若y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心與它相鄰的一個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為1，且過(guò)點(diǎn)M（1，

7

2

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由向量運(yùn)算以及三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=-cos（2ωx+2φ）+3，再由y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心與它相鄰的一個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為1判斷出函數(shù)的周期是4，由周期公式求得ω，再由圖象過(guò)點(diǎn)M（1，

7

2

），代入求得φ，即得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，代入求得相位的取值范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ），
=-cos（2ωx+2φ）+3
由題意得周期T=

2π

2ω

=4，故ω=

π

4

…（4分）
又圖象過(guò)點(diǎn)M（1，

7

2

），所以

7

2

=3-cos（

π

2

+2φ）
即sin2φ=

1

2

，而0＜φ＜

π

4

，所以2φ=

π

6

∴f（x）=3-cos（

π

2

x+

π

6

）
（2）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，-

π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

2π

3

∴當(dāng)-

π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤0時(shí)，即x∈[-1，-

1

3

]時(shí)，f（x）是減函數(shù)
當(dāng)0≤

π

2

x+

π

6

≤

2π

3

時(shí)，即x∈[-

1

3

，1]時(shí)，f（x）是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[-1，-

1

3

]，單調(diào)增區(qū)間是[-

1

3

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角恒等變換求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．