Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²-mx-m）．
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1-

3

）上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）x2-x-1＞0?x＞

1+ 5

2

或x

1- 5

2

，由此能求出其定義域．
（2）由于f（x）值城為R，因此其真數(shù)N（x）=x²-mx-m應(yīng)能取遍所有的正數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)N（x）圖象能求出m的范圍．
（3）因y=lgx在其定義城上為增，則N（x）=x²-mx-m應(yīng)在相應(yīng)定義區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間位置分析，能夠推導(dǎo)出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）x2-x-1＞0?x＞

1+ 5

2

或x

1- 5

2

，因此其定義域為(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)
（2）由于f（x）值城為R，因此其真數(shù)N（x）=x²-mx-m應(yīng)能取遍所有的正數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)N（x）圖象易知△≥0

&∴m≤-4或m≥0

，即m∈（-∞，-4]∪[0，+∞）．
（3）因y=lgx在其定義城上為增，則N（x）=x²-mx-m應(yīng)在相應(yīng)定義區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間位置分析，其對稱軸x=

m

2

≥1-

3

①同時必須考慮N（x）=x²-mx-m在(-∞，1-

3

)上為正，故Nmin(x)=N(1-

3

)≥0，即(1-

3

)2-m(1-

3

)-m≥0②綜合①、②式可得2-2

3

≤m≤2∴m∈[2-2

3

，2]

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、最值和單調(diào)性的應(yīng)用，解題時要充分運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．