Question

已知=（x，0），=（1，y），（+）⊥（-）（1）點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=3x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點，D（0，-1）且，試求m的值．

Answer 1

解：（1）由已知（2分）
即x²=3+3y²，所以P的軌跡方程為（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點E坐標為（x₀，y₀）．
，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韋達定理得：，則，（8分）
則AB垂直平分線方程為，
又點D（-1，0）在AB的垂直平分線上，代入方程得（11分）
（注：也可由DE的斜率為-，得，解得m=）
由△＞0，得m²＞26
所以時，直線l：y=3x+m，m≠0與雙曲線C相交，符合題意，
所以．（12分）
分析：（1）由已知x²=3+3y²，由此能得到P的軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點E坐標為（x₀，y₀）.，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韋達定理和根的判別式能夠求出m的值．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．