Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】試題分析：（1）在上為增函數(shù)，等價(jià)于在上恒成立，分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，故只能，所以在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，要使在上恒成立，只要即可，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，等價(jià)于在上有解，即求的值域．構(gòu)造（），證明在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）∵函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

∴在區(qū)間上恒成立，

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

∴在上為增函數(shù)，故符合題意.

②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知對(duì)恒成立，

故只能，∴在上恒成立，

令函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，

∵，∴，要使在上恒成立，只要即可，

即，∴，

∵，∴，綜上所述，的取值范圍為.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)等價(jià)于方程：

有實(shí)根，可化為：

.

等價(jià)于在上有解，

即求函數(shù)的值域，

∵函數(shù)，

令函數(shù)，則，

∴當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此，而，∴，

故當(dāng)時(shí)，取得最大值0.