Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.、是橢圓的左、右頂點，直線過點且與軸垂直.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點，作軸于點，延長到點使得，連接并延長交直線于點，為線段的中點，判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）相切．

【解析】試題分析：(1)根據(jù)點到直線距離公式得 ,再根據(jù)離心率得 (2) 設(shè)，依次得Q,M,N坐標(biāo)，即得QN方程，再利用點到直線距離公式得圓心到直線距離，最后根據(jù)圓心到直線距離與半徑關(guān)系確定直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系

試題解析：（Ⅰ）由題意：到直線的距離為，則

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）設(shè)，則

直線的方程為

與聯(lián)立得：

則直線的方程為

即

方程可化為

到直線的距離為

故直線與以AB為直徑的圓O相切.