Question

已知數(shù)列、滿足：.

(1)求；

(2) 證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)，求實(shí)數(shù)為何值時(shí)恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（1) ；

（2）；

(3)≤1時(shí)，恒成立 。

【解析】

試題分析：（1) ∵     ∴. 4分

（2）∵

∴，

∴

∴數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列           6分

∴  

  ∴      8分

(3)  

∴

∴          10分

由條件可知恒成立即可滿足條件

設(shè)

當(dāng)時(shí)，恒成立,

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸         12分

在為單調(diào)遞減函數(shù)．

∴    ∴時(shí)恒成立           13分

綜上知：≤1時(shí)，恒成立                14分

考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法，數(shù)列不等式的證明。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題綜合性較強(qiáng)，綜合考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法，數(shù)列不等式的證明。確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往利用已知條件，建立相關(guān)元素的方程組，以達(dá)到解題目的。本題從遞推公式出發(fā)，研究“倒數(shù)數(shù)列”的特征，達(dá)到解題目的。涉及數(shù)列和的不等式證明問(wèn)題，往往先求和、再放縮、得證明。本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的最值，達(dá)到證明目的。