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        1. 已知數(shù)列{an}滿足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.
          (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:0<an<1;
          (2)若bn=lg(1-an),且a1=
          9
          10
          ,求無窮數(shù)列{
          1
          bn
          }
          所有項(xiàng)的和.
          分析:(1)要求用數(shù)學(xué)歸納法證明:按照兩個(gè)步驟進(jìn)行,特別注意遞推即可.
          (2)由an+1=-an2+2an和bn=lg(1-an)及a1=
          9
          10
          ,求得bn列進(jìn)而求得{
          1
          bn
          }
          ,再取極限即可.
          解答:(1)證明:①當(dāng)n=1時(shí),由條件知,成立
          ②假設(shè)n=k成立,即0<ak<1成立,
          當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=-ak2+2ak=-(ak-1)2+1,
          ∵0<aK<1
          ∴0<(ak-1)2<1
          ∴0<-(ak-1)2+1<1
          ∴0<aK+1<1
          這就是說,當(dāng)=k+1時(shí),0<ak<1也成立.
          根據(jù)①②知,對(duì)任意n∈N*,不等式0<an<1恒成立.

          (2)解:1-an+1=(1-an2,0<an<1;
          lg(1-an+1)=lg(1-an2,,即lg(1-an+1)=2lg(1-an
          即:bn+1=2bn
          ∴{bn}是以-1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.
          ∴bn=-2n-1,∴
          1
          bn
          = -
          1
          2n-1

          無究數(shù)列{
          1
          bn
          }所有項(xiàng)的和為:
          1
          b1
          +
          1
          b2
          +…+
          1
          bn
          +…
          =
          lim
          n→∞
          1
          b1
          +
          1
          b2
          +…+
          1
          bn
          )=
          lim
          n→∞
          [(-1)×
          1-
          1
          2
          n
          1-
          1
          2
          ]=-2×
          lim
          n→∞
          1-(
          1
          2
          ) n
          )=-2
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法和等比數(shù)列的求法及無窮數(shù)學(xué)所有項(xiàng)的和的求法.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
          3+4an
          12-4an
          , n∈N*

          (1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
          1
          an-
          1
          2
          (n∈N*)
          ,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
          (3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足
          1
          2
          a1+
          1
          22
          a2+
          1
          23
          a3+…+
          1
          2n
          an=2n+1
          則{an}的通項(xiàng)公式
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=
          3
          2
          ,且an=
          3nan-1
          2an-1+n-1
          (n≥2,n∈N*).
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
          (1)若a1=
          54
          ,求an;
          (2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
          2n-1
          2n-1

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          同步練習(xí)冊答案