【題目】如圖，四棱錐
中，側(cè)面
底面
，
，
，
，
，
，
分別為
的中點(diǎn).
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在線段
上是否存在一點(diǎn)
，使
與平面所成角的正弦值為
，若存在求出
的長(zhǎng)，若不存在說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
（3）存在；
【解析】
（1）取
中點(diǎn)
，可證明
且
，從而證明
，進(jìn)而可證明
平面
；（2）分別以
為
軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法可求出二面角
的余弦值；（3）假設(shè)存在
點(diǎn)，利用向量法求
與平面所成角的正弦值為
時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷是否在線段
上，進(jìn)而求出
的長(zhǎng).
（1）證明：取中點(diǎn)，連接
，
，即
，
所以
為平行四邊形，
平面，
平面，因此
平面.
（2）解：因?yàn)?/span>
，
為
的中點(diǎn)，所以
，又因?yàn)閭?cè)面
底面
且交線為，所以
平面，
分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
，
平面
的法向量
，
，
，設(shè)平面
的法向量
，
則
令
，得
.
所以
，因此二面角的余弦值為.
（3）解：設(shè)
，
，
，
平面的法向量
，
所以
，
解得
或
（舍），所以存在
，
所以
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，上棱
，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（ ）
A.6B.
C.
D.12
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，四邊形
是菱形，
，
，E是
上一點(diǎn)，且
，設(shè)
.
（1）證明：
平面；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
．
（1）若橢圓
的離心率為
，求
的值；
（2）若過(guò)點(diǎn)
任作一條直線
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
，在
軸上是否存在點(diǎn)
，使得
， 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為實(shí)現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會(huì)，某地進(jìn)行產(chǎn)業(yè)的升級(jí)改造.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研和科學(xué)研判，準(zhǔn)備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個(gè)核心部件，目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨(dú)立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機(jī)抽取400件，對(duì)其核心部件的尺寸x，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理的頻率分布直方圖.
根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，該核心部件尺寸x滿(mǎn)足：|x﹣12|≤1為一級(jí)品，1＜|x﹣12|≤2為二級(jí)品，|x﹣12|＞2為三級(jí)品.
（Ⅰ）現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品，再?gòu)乃槿〉?/span>40件產(chǎn)品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產(chǎn)品，記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14，15]的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時(shí)，需要進(jìn)行檢驗(yàn).已知每箱有100件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為50元.檢驗(yàn)規(guī)定：若檢驗(yàn)出三級(jí)品需更換為一級(jí)或二級(jí)品；若不檢驗(yàn)，讓三級(jí)品進(jìn)入買(mǎi)家，廠家需向買(mǎi)家每件支付200元補(bǔ)償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢了10件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級(jí)品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費(fèi)用作為決策依據(jù)，問(wèn)是否對(duì)該箱中剩余產(chǎn)品進(jìn)行一一檢驗(yàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）為加大升級(jí)力度，廠家需增購(gòu)設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤(rùn)如下：一級(jí)品的利潤(rùn)為500元/件；二級(jí)品的利潤(rùn)為400元/件；三級(jí)品的利潤(rùn)為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級(jí)品的概率分別是
，
，
.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤(rùn)作為決策依據(jù).應(yīng)選購(gòu)哪種設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】學(xué)生考試中答對(duì)但得不了滿(mǎn)分的原因多為答題不規(guī)范，具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確，無(wú)明顯推理錯(cuò)誤，但語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等，記此類(lèi)解答為“
類(lèi)解答”為評(píng)估此類(lèi)解答導(dǎo)致的失分情況，某市教研室做了項(xiàng)試驗(yàn):從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取若干屬于“類(lèi)解答”的題目，掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評(píng)閱，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿(mǎn)分12分的題，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例大約如下表:
教師評(píng)分（滿(mǎn)分12分） | 11 | 10 | 9 |
各分?jǐn)?shù)所占比例 |
|
|
|
某次數(shù)學(xué)考試試卷評(píng)閱采用“雙評(píng)+仲裁”的方式，規(guī)則如下:兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱(chēng)為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱(chēng)之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對(duì)滿(mǎn)分為12分的題目中的“類(lèi)解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響).
（1）本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題(滿(mǎn)分12分)的解答屬于“類(lèi)解答”，求甲同學(xué)此題得分
的分布列及數(shù)學(xué)期望
;
（2）本次數(shù)學(xué)考試有6個(gè)解答題，每題滿(mǎn)分12分，同學(xué)乙6個(gè)題的解答均為“類(lèi)解答”.
①記乙同學(xué)6個(gè)題得分為
的題目個(gè)數(shù)為
計(jì)算事件
的概率.
②同學(xué)丙的前四題均為滿(mǎn)分，第5題為“類(lèi)解答”，第6題得8分.以乙、丙兩位同學(xué)解答題總分均值為依據(jù)，談?wù)勀銓?duì)“類(lèi)解答”的認(rèn)識(shí).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】橢圓規(guī)是用來(lái)畫(huà)橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示，在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個(gè)固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng)，在直尺上的點(diǎn)M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M的軌跡C是一個(gè)橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以?xún)蓷l導(dǎo)槽的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.
（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用
表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出C的普通方程；
（2）已知過(guò)C的左焦點(diǎn)F，且傾斜角為α（0≤α
）的直線l1與C交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點(diǎn).當(dāng)
，|GH|，
依次成等差數(shù)列時(shí)，求直線l2的普通方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為迎接
年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開(kāi)展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了
名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（滿(mǎn)分為分）分為
組：
，
，
，
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求
的值；
（2）記
表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于
分”，估計(jì)的概率；
（3）在抽取的名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于分為“優(yōu)秀”，比賽成績(jī)低于分為“非優(yōu)秀”．請(qǐng)將下面的
列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有
的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
男生 |
| ||
女生 |
| ||
合計(jì) |
|
參考公式及數(shù)據(jù)：
，
．
|
|
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|
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知四棱錐
中，平面
平面
，
，
，
，
，
為棱
上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
是
的中點(diǎn)．
（1）求證：
；
（2）若
，問(wèn)是否存在點(diǎn)E，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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