Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx的圖象與直線l：y=-2x+c相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式和直線l的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式f（x）≥2x+m對(duì)f（x）定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線方程．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）將不等式轉(zhuǎn)化為最值恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="wni6sc2" class="MathJye">f′(x)=2x+

a

x

，所以-2=f'（1）=2+a，所以a=-4
所以f（x）=x²-4lnx…（2分）
所以f（1）=1，所以切點(diǎn)為（1，1），所以c=3
所以直線l的方程為y=-2x+3…（4分）
（2）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞）所以由f′(x)=

2x2-4

x

＞0得x＞

2

…（6分）
由f′(x)=

2x2-4

x

＜0得0＜x＜

2

…（7分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(0，

2

)，單調(diào)增區(qū)間為(

2

，+∞)…（8分）
（3）令g（x）=f（x）-2x，則g′(x)=2x-

4

x

-2＞0(x＞0)得x＞2
所以g（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)…（10分）
g（x）_min=g（2）=-4ln2，所以m≤g（x）_min=-4ln2…（11分）
所以當(dāng)f（x）≥2x+m在f（x）的定義域內(nèi)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-4ln2]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．