【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:
.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)先代入,對(duì)
求導(dǎo)數(shù),再算出
,
,進(jìn)而可得曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;(Ⅱ)先構(gòu)造函數(shù)
,再利用導(dǎo)數(shù)可得
的最小值,,進(jìn)而可證當(dāng)
時(shí),
.
試題解析:(Ⅰ)解:當(dāng)時(shí),
,
所以.
所以,
.
所以曲線在點(diǎn)
處的切線方程為
.
即.
(Ⅱ)證法一:當(dāng)時(shí),
.
要證明,只需證明
.
以下給出三種思路證明.
思路1:設(shè),則
.
設(shè),則
,
所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增
因?yàn)?/span>,
,
所以函數(shù)在
上有唯一零點(diǎn)
,且
因?yàn)?/span>時(shí),所以
,即
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
所以當(dāng)時(shí),
取得最小值
.
故.
綜上可知,當(dāng)時(shí),
.
思路2:先證明
.
設(shè),則
.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞減,當(dāng)
時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞增.
所以.
所以(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
所以要證明,
只需證明.
下面證明.
設(shè),則
.
當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞減,當(dāng)
時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞增.
所以.
所以(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
由于取等號(hào)的條件不同,
所以.
綜上可知,當(dāng)時(shí),
.
(若考生先放縮,或
、
同時(shí)放縮,請(qǐng)參考此思路給分。
思路3:先證明.
因?yàn)榍與曲線
的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱,
設(shè)直線
與曲線
,
分別交于點(diǎn)
,
,點(diǎn)
,
到直線
的距離分別為,
,
則.
其中,
.
①設(shè)
,則
.
因?yàn)?/span>,所以
.
所以在
上單調(diào)遞增,則
.
所以.
②設(shè)
,則
.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,
所以當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增.
所以.
所以.
所以.
綜上可知,當(dāng)時(shí),
.
證法二:因?yàn)?/span>,
要證明,只需證明
.
以下給出兩種思路證明.
思路1:設(shè),則
.
設(shè),則
.
所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增.
因?yàn)?/span>,
,
所以函數(shù)在
上有唯一零點(diǎn)
,且
.
因?yàn)?/span>,所以
,即
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以當(dāng)時(shí),
取得最小值
.
故.
綜上可知,當(dāng)時(shí),
.
思路2:先證明,且
.
設(shè),則
.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí),
取得最小值
.
所以,即
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
由,得
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
所以(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
再證明.
因?yàn)?/span>,
,且
與
不同時(shí)取等號(hào),
所以
.
綜上可知,當(dāng)時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形中,
,
,點(diǎn)
為
中點(diǎn),沿
將
折起至
,如圖所示,點(diǎn)
在面
的射影
落在
上.
(1)求證:面面
;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.
注:表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品重量(克) | 頻數(shù) |
6 | |
8 | |
14 | |
8 | |
4 |
(1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;
(2)若以頻率作為概率,試估計(jì)從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;
(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān).
甲流水線 | 乙流水線 | 合計(jì) | |
合格 | |||
不合格 | |||
合計(jì) |
參考公式:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響,某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績,并制成下面的2×2列聯(lián)表:
及格 | 不及格 | 合計(jì) | |
很少使用手機(jī) | 20 | 5 | 25 |
經(jīng)常使用手機(jī) | 10 | 15 | 25 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
則有( 。┑陌盐照J(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響.
參考公式:,其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義一個(gè)“希望結(jié)合”()簡稱
如下:
為一個(gè)非空集合,它滿足條件“若
,則
”。試問:在集合
中,一共有多少個(gè)“希望子集合”?請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)銳角△ABC的外接圓上的任意一點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的西姆松線為
,P的對(duì)徑點(diǎn)為
,
與
的交點(diǎn)為
。證明:對(duì)
上兩點(diǎn)P、Q,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),
關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱,其中,N為△ABC的九點(diǎn)圓的圓心。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)
到直線
的距離是它到點(diǎn)
距離的2倍;曲線
是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),
為焦點(diǎn)的拋物線.
(1)求的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線
相交于
兩點(diǎn),分別以
為切點(diǎn)引曲線
的兩條切線
,設(shè)
相交于點(diǎn)
,連接
的直線交曲線
于
兩點(diǎn),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:
①函數(shù)的最大值為1;
②已知集合,則集合A的真子集個(gè)數(shù)為3;
③若為銳角三角形,則有
;
④“”是“函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件.
其中正確的命題是______.(填序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為
,過橢圓的焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),直線MB與x軸交于點(diǎn)C,直線MA與y軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.
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