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        1. 【題目】已知函數(shù).

          (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

          (Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明: .

          【答案】(1)(2)見解析

          【解析】試題分析:()先代入,對(duì)求導(dǎo)數(shù),再算出,進(jìn)而可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;()先構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值,,進(jìn)而可證當(dāng)時(shí),

          試題解析:()解:當(dāng)時(shí), ,

          所以

          所以, .

          所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

          .

          )證法一:當(dāng)時(shí), .

          要證明,只需證明.

          以下給出三種思路證明.

          思路1:設(shè),則.

          設(shè),則

          所以函數(shù) 上單調(diào)遞增

          因?yàn)?/span>, ,

          所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn),且

          因?yàn)?/span>時(shí),所以,即

          當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

          所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

          綜上可知,當(dāng)時(shí), .

          思路2:先證明

          設(shè),則

          因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

          所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

          所以

          所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

          所以要證明

          只需證明

          下面證明

          設(shè),則

          當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

          所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

          所以

          所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

          由于取等號(hào)的條件不同,

          所以

          綜上可知,當(dāng)時(shí), .

          (若考生先放縮,或、同時(shí)放縮,請(qǐng)參考此思路給分。

          思路3:先證明.

          因?yàn)榍與曲線的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,

          設(shè)直線 與曲線, 分別交于點(diǎn), ,點(diǎn)到直線

          的距離分別為, ,

          其中,

          設(shè) ,則

          因?yàn)?/span>,所以

          所以上單調(diào)遞增,則

          所以

          設(shè) ,則

          因?yàn)楫?dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

          所以當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

          所以

          所以

          所以

          綜上可知,當(dāng)時(shí), .

          證法二:因?yàn)?/span>

          要證明,只需證明.

          以下給出兩種思路證明.

          思路1:設(shè),則.

          設(shè),則

          所以函數(shù) 上單調(diào)遞增.

          因?yàn)?/span>,

          所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn),且.

          因?yàn)?/span>,所以,即

          當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

          所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

          綜上可知,當(dāng)時(shí),

          思路2:先證明,且

          設(shè),則

          因?yàn)楫?dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

          所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

          所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

          所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

          ,得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

          所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

          再證明

          因?yàn)?/span>, ,且不同時(shí)取等號(hào),

          所以

          綜上可知,當(dāng)時(shí),

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          【題目】矩形中,,點(diǎn)中點(diǎn),沿折起至,如圖所示,點(diǎn)在面的射影落在上.

          (1)求證:面

          (2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

          查看答案和解析>>

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.

          注:表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

          產(chǎn)品重量(克)

          頻數(shù)

          6

          8

          14

          8

          4

          (1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;

          (2)若以頻率作為概率,試估計(jì)從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;

          (3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān).

          甲流水線

          乙流水線

          合計(jì)

          合格

          不合格

          合計(jì)

          參考公式:,其中

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響,某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績,并制成下面的2×2列聯(lián)表:

          及格

          不及格

          合計(jì)

          很少使用手機(jī)

          20

          5

          25

          經(jīng)常使用手機(jī)

          10

          15

          25

          合計(jì)

          30

          20

          50

          則有( 。┑陌盐照J(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響.

          參考公式:,其中

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

          A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義一個(gè)希望結(jié)合”()簡稱如下:為一個(gè)非空集合,它滿足條件,則。試問:在集合中,一共有多少個(gè)希望子集合?請(qǐng)說明理由。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的2倍;曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),為焦點(diǎn)的拋物線.

          (1)求的方程;

          (2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn),分別以為切點(diǎn)引曲線的兩條切線,設(shè)相交于點(diǎn),連接的直線交曲線兩點(diǎn),求的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】下列四個(gè)命題:

          ①函數(shù)的最大值為1;

          ②已知集合,則集合A的真子集個(gè)數(shù)為3

          ③若為銳角三角形,則有;

          函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的充分必要條件.

          其中正確的命題是______.(填序號(hào))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知橢圓 的離心率為,過橢圓的焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為1

          1)求橢圓C的方程;

          2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),直線MBx軸交于點(diǎn)C,直線MAy軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案