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        1. 【題目】已知函數(shù).

          (Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;

          (Ⅱ)當時,證明: .

          【答案】(1)(2)見解析

          【解析】試題分析:()先代入,對求導(dǎo)數(shù),再算出, ,進而可得曲線在點處的切線方程;()先構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值,,進而可證當時,

          試題解析:()解:當時, ,

          所以

          所以.

          所以曲線在點處的切線方程為

          .

          )證法一:當時, .

          要證明,只需證明.

          以下給出三種思路證明.

          思路1:設(shè),則.

          設(shè),則,

          所以函數(shù) 上單調(diào)遞增

          因為,

          所以函數(shù)上有唯一零點,且

          因為時,所以,即

          時, ;當時,

          所以當時, 取得最小值

          綜上可知,當時, .

          思路2:先證明

          設(shè),則

          因為當時, ,當時, ,

          所以當時,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)單調(diào)遞增.

          所以

          所以(當且僅當時取等號).

          所以要證明,

          只需證明

          下面證明

          設(shè),則

          時, ,當時,

          所以當時,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)單調(diào)遞增.

          所以

          所以(當且僅當時取等號).

          由于取等號的條件不同,

          所以

          綜上可知,當時, .

          (若考生先放縮,或同時放縮,請參考此思路給分。

          思路3:先證明.

          因為曲線與曲線的圖像關(guān)于直線對稱,

          設(shè)直線 與曲線, 分別交于點, ,點, 到直線

          的距離分別為,

          其中,

          設(shè) ,則

          因為,所以

          所以上單調(diào)遞增,則

          所以

          設(shè) ,則

          因為當時, ;當時, ,

          所以當時, 單調(diào)遞減;當時, 單調(diào)遞增.

          所以

          所以

          所以

          綜上可知,當時, .

          證法二:因為,

          要證明,只需證明.

          以下給出兩種思路證明.

          思路1:設(shè),則.

          設(shè),則

          所以函數(shù) 上單調(diào)遞增.

          因為, ,

          所以函數(shù)上有唯一零點,且.

          因為,所以,即

          時, ;當時, .

          所以當時, 取得最小值

          綜上可知,當時,

          思路2:先證明,且

          設(shè),則

          因為當時, ;當時,

          所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

          所以當時, 取得最小值

          所以,即(當且僅當時取等號).

          ,得(當且僅當時取等號).

          所以(當且僅當時取等號).

          再證明

          因為, ,且不同時取等號,

          所以

          綜上可知,當時,

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】矩形中,,點中點,沿折起至,如圖所示,點在面的射影落在上.

          (1)求證:面

          (2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

          查看答案和解析>>

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.

          注:表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

          產(chǎn)品重量(克)

          頻數(shù)

          6

          8

          14

          8

          4

          (1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;

          (2)若以頻率作為概率,試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;

          (3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).

          甲流水線

          乙流水線

          合計

          合格

          不合格

          合計

          參考公式:,其中

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

          查看答案和解析>>

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為了研究經(jīng)常使用手機是否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響,某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進行了調(diào)查,隨機抽取高二年級50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績,并制成下面的2×2列聯(lián)表:

          及格

          不及格

          合計

          很少使用手機

          20

          5

          25

          經(jīng)常使用手機

          10

          15

          25

          合計

          30

          20

          50

          則有( 。┑陌盐照J為經(jīng)常使用手機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響.

          參考公式:,其中

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

          A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義一個希望結(jié)合”()簡稱如下:為一個非空集合,它滿足條件,則。試問:在集合中,一共有多少個希望子集合?請說明理由。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)銳角△ABC的外接圓上的任意一點P所對應(yīng)的西姆松線為,P的對徑點為,的交點為。證明:上兩點P、Q,當且僅當,關(guān)于點N對稱其中,N為△ABC的九點圓的圓心。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點距離的2倍;曲線是以原點為頂點,為焦點的拋物線.

          (1)求的方程;

          (2)設(shè)過點的直線與曲線相交于兩點,分別以為切點引曲線的兩條切線,設(shè)相交于點,連接的直線交曲線兩點,求的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】下列四個命題:

          ①函數(shù)的最大值為1;

          ②已知集合,則集合A的真子集個數(shù)為3

          ③若為銳角三角形,則有

          函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的充分必要條件.

          其中正確的命題是______.(填序號)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知橢圓 的離心率為,過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1

          1)求橢圓C的方程;

          2)設(shè)點M為橢圓上第一象限內(nèi)一動點,A,B分別為橢圓的左頂點和下頂點,直線MBx軸交于點C,直線MAy軸交于點D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.

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          同步練習(xí)冊答案