Question

若直線y=x+b與曲線x=

2-y2

恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍是

-

2

＜b≤

2

或b=-2

．

Answer 1

分析：把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，進而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個交點，那么很容易從圖上看出其三個極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于（0，-

2

）和另一個點，及與曲線交于點（0，

2

），分別求出b，則b的范圍可得．

解答：解：x=

2-y2

，化簡得x²+y²=2，
注意到x≥0，所以這個曲線應(yīng)該是半徑為

2

，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．
畫出圖象，這樣因為直線與其只有一個交點，
從圖上看出其三個極端情況分別是：
直線在第四象限與曲線相切，
交曲線于（0，-

2

）和另一個點，
及與曲線交于點（0，

2

）．
分別算出三個情況的b值是：-2，-

2

，

2

．
因為b就是直線在y軸上的截距了，
所以看圖很容易得到b的范圍是：-

2

＜b≤

2

或b=-2．
故答案為：：-

2

＜b≤

2

或b=-2．

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)．對于此類問題除了用聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為方程的根的問題之外，也可用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀．