Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+b）（其中a，b為常數(shù)，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（-2，0），B（1，2）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g(x)=(

a

b

)2x-(

a

b

)x-1，x∈[0，+∞)，求g（x）的值域．

Answer 1

分析：此題（1）由帶入法求解函數(shù)解析式，（2）是指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，難度不大

解答：（1）∵已知函數(shù)f（x）=log_a（x+b）（其中a，b為常數(shù)，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（-2，0），B（1，2）
∴f（-2）=0，f（1）=2
∴l(xiāng)og_a（b-2）=0，log_a（1+b）=2
∴a=2，b=3
∴f（x）=log₂（x+3）
（2）∵g(x)=(

a

b

)2x-(

a

b

)x-1，x∈[0，+∞)
∴g(x)=(

2

3

)2x-(

2

3

)x-1，x∈[0，+∞)
設(shè)t=(

2

3

)x，則t∈（0，1]
∴函數(shù)g（x）在t∈(0，

1

2

]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
∴t=

1

2

時，g（x）有最小值-

5

4

，t=1時，g（x）有最大值-1
∴g（x）的值域為[-

5

4

，-1]

點評：此題主要考查指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，從而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，難度不大，是一道基礎(chǔ)題目．