Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中a2≠0．
（1）求證：{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；
（2）若a2＞﹣1，求證 ，并給出等號(hào)成立的充要條件．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Sn+1=a2Sn+a1，①

∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②

②﹣①可得：an+2=a2an+1

∵a2≠0，∴

∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1

∵a2≠0，∴a1=1

∴{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；

（2）證明：當(dāng)n=1或2時(shí)， 等號(hào)成立

設(shè)n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1， ，所以要證的不等式可化為

（n≥3）

即證 （n≥2）

a2=1時(shí)，等號(hào)成立

當(dāng)﹣1＜a2＜1時(shí)， 與 同為負(fù)；

當(dāng)a2＞1時(shí)， 與 同為正；

∴a2＞﹣1且a2≠1時(shí)，（ ）（ ）＞0，即

上面不等式n分別取1，2，…，n累加可得

∴

綜上， ，等號(hào)成立的充要條件是n=1或2或a2=1．

【解析】（1）根據(jù)Sn+1=a2Sn+a1 ， 再寫一式，兩式相減，即可證得{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（2）當(dāng)n=1或2時(shí)， 等號(hào)成立，設(shè)n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（1）知a1=1， ，所以要證的不等式可化為 （n≥3），即證 （n≥2），a2=1時(shí)，等號(hào)成立；再證明a2＞﹣1且a2≠1時(shí)，（ ）（ ）＞0，即可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等比關(guān)系的確定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知前項(xiàng)和公式：；等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷．