Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，分別求出異面直線AE和BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線AE和BF所成角的余弦值；
（2）分別求出平面BDD₁與平面BFC₁的法向量，代入向量夾角公式，我們可以求出平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可以求出平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的正弦值．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
則A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F(xiàn)（1，0，2），C₁（2，2，2）
（1）則

AE

=（0，1，2），

BF

=（-1，0，2）
設(shè)異面直線AE和BF所成角為θ
則cosθ=|

AE • BF

| AE |•| BF |

|=

4

5

即異面直線AE和BF所成角的余弦值為

4

5

（2）∵

AB

=（2，0，0）為平面BDD₁的一個(gè)法向量，
設(shè)向量

n

=(x，y，z)為平面BFC₁的一個(gè)法向量
則

n • BF =0 n • BC1 =0

，即

-x+2z=0 2y+2z=0

令z=1，則向量

n

=(2，-1，1)為平面BFC₁的一個(gè)法向量
∵cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n |•| AB |

=

6

3

∴sin＜

n

，

AB

＞=

3

3

∴平面BDD₁與平面BFC₁所成二面角的正弦值為

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題及異面直線夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．