Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為C，過(guò)F作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC面積最大值．

Answer 1

分析：先根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)F與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為x=my-1，將x=my-1代入橢圓方程，再由韋達(dá)定理構(gòu)造△ABO的面積關(guān)于m的函數(shù)，利用函數(shù)求最值的方法可求得最大值．

解答：解：由題意知：|FC|=a+c=2+1=3，F(xiàn)（-1，0），
設(shè)AB的直線方程x=my-1，不妨設(shè)直線AB與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒（3m²+4）y²-6my-9=0，則y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
S_△ABC=

1

2

×|FC|×|y₁-y₂|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=18×

m2+1 (3m2+4)2

=18×

1 9(m2+1)+6+ 1 m2+1

，
設(shè)t=m²+1≥1，函數(shù)g（t）=9t+

1

t

，g′(t)=9-

1

t2

，∵t≥1，g′（t）＞0
∴函數(shù)在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴m²+1=1時(shí)，S_△ABC最大，且最大值為

9

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、考查直線與橢圓相交關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用及運(yùn)用函數(shù)思想求最值，本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有較高要求，對(duì)解析式的變形是關(guān)鍵．