Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．
（2）若a=

5

2

且關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x²+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用參變量分離法將恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，列出不等關(guān)系，即可求得a的取值范圍，從而得到實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]有兩個(gè)不等的實(shí)根，令h（x）=b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，再將方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=b與y=h（x）在[1，4]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，再結(jié)合圖象即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）=lnx-ax+1≤0恒成立，
∴a≥

lnx+1

x

在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

lnx+1

x

，x∈[1，+∞），
則g′（x）=

1 x ×x-lnx-1

x2

=0，解得x=1，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，即g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在[1，+∞）上的最大值為g（1）=1，
∴a≥1，即實(shí)數(shù)a的最小值為1；
（2）∵a=

5

2

，f（x）=-

1

2

x²+b，
∴b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]有兩個(gè)不等的實(shí)根，
令h（x）=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]，
∴h′（x）=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

=

(x-2)(2x-1)

2x

，
令h′（x）=0，則x=

1

2

（舍）或x=2，
∴h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，4）上單調(diào)遞增，
∴h（x）在x=2處取得極小值h（2）=ln2-2，又h（1）=-1，h（4）=ln4-1＞-1=h（1），
要使b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則y=b與y=h（x）的圖象在x∈[1，4]有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知，ln2-2＜b≤-1，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是ln2-2＜b≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，將方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有交點(diǎn)進(jìn)行解決．屬于中檔題．