Question

【題目】已知橢圓 過(guò)點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】試題分析：（1）由離心率得到a，c，b的關(guān)系，進(jìn)一步把橢圓方程用含有c的代數(shù)式表示，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求得c，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0得到，再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為．求出MN的垂直平分線l'方程，由P在l'上，得到,再結(jié)合求得k的取值范圍．

試題解析：（1）離心率，∴，即（1）

又橢圓過(guò)點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得： ， ，橢圓方程為

（2）設(shè)，弦的中點(diǎn)

由，得： ，

直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

∴，即，（1）

由韋達(dá)定理得： ， ，

則， ，

直線的斜率為： ，

由直線和直線垂直可得： ，即，代入（1）式，

可得： ，即，則或.