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        1. 【題目】如圖,已知?jiǎng)又本(xiàn)l過(guò)點(diǎn) ,且與圓O:x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn).
          (1)若直線(xiàn)l的斜率為 ,求△OAB的面積;
          (2)若直線(xiàn)l的斜率為0,點(diǎn)C是圓O上任意一點(diǎn),求CA2+CB2的取值范圍;
          (3)是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)P),對(duì)于任意不與y軸重合的直線(xiàn)l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】
          (1)解:因?yàn)橹本(xiàn)l的斜率為 ,所以直線(xiàn)l ,

          則點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離 ,

          所以弦AB的長(zhǎng)度 ,

          所以


          (2)解:因?yàn)橹本(xiàn)l的斜率為0,所以可知 ,

          設(shè)點(diǎn)C(x,y),則x2+y2=1,

          ,所以CA2+CB2=4﹣2y,又y∈[﹣1,1],

          所以CA2+CB2的取值范圍是[2,6]


          (3)解:法一:若存在,則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,定點(diǎn)Q在y軸上,設(shè)Q(0,t)、又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

          因直線(xiàn)l不與y軸重合,設(shè)直線(xiàn)l

          代入圓O得 ,

          所以 (*)

          若PQ平分∠AQB,則根據(jù)角平分線(xiàn)的定義,AQ與BQ的斜率互為相反數(shù)

          ,又 ,

          化簡(jiǎn)可得 ,

          代入(*)式得 ,因?yàn)橹本(xiàn)l任意,故 ,

          即t=2,即Q(0,2)

          解法二:若存在,則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,定點(diǎn)Q在y軸上,設(shè)Q(0,t)、又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

          因直線(xiàn)l不與y軸重合,設(shè)直線(xiàn)l ,

          代入圓O得 ,

          所以 (*)

          若PQ平分∠AQB,則根據(jù)角平分線(xiàn)的幾何意義,點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離d1,點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離d2滿(mǎn)足 ,即 ,

          化簡(jiǎn)可得

          代入(*)式得 ,因?yàn)橹本(xiàn)l任意,故 ,

          即t=2,即Q(0,2)


          【解析】(1)因?yàn)橹本(xiàn)l的斜率為 ,所以直線(xiàn)l ,利用弦長(zhǎng)、半徑、弦心距的關(guān)系,求得弦長(zhǎng)及△OAB的高,即可求出面積.(2)因?yàn)橹本(xiàn)l的斜率為0,所以可知 、 ,設(shè)點(diǎn)C(x,y),則x2+y2=1,又 =4﹣2y,又y∈[﹣1,1],

          即可得CA2+CB2的取值范圍.(3)法一:若存在,則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,定點(diǎn)Q在y軸上,設(shè)Q(0,t)、又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),因直線(xiàn)l不與y軸重合,設(shè)直線(xiàn)l ,代入圓O得 ,所以 (*) 由AQ與BQ的斜率互為相反數(shù),可得 ,即求得t;解法二:若PQ平分∠AQB,則根據(jù)角平分線(xiàn)的幾何意義,點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離d1,點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離d2滿(mǎn)足 ,即 ,化簡(jiǎn)可得 ,同時(shí)求得t.

          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí),掌握直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系:無(wú)公共點(diǎn)為相離;有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn);圓與直線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)為相切,這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn),這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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