Question

如圖，在直角梯形ABEF中，將四邊形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一個空間幾何體．
（1）在線段DF上找點G，使得AG∥平面BEF；
（2）求證：AF⊥面ABCD；
（3）作出直線EF與平面ABCD所成角，并求該角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取FD中點為G，連接GE，可證出四邊形ABEG為平行四邊形，得AG∥BE，結(jié)合線面平行的判定定理，可得AG∥平面BEF．
（2）利用余弦定理和勾股定理的逆定理，證出△FDA中AF⊥AD，根據(jù)AD⊥AB，DF⊥AB得AB⊥平面ADF，從而得AF⊥AB，最后利用線面垂直判定定理，可證出AF⊥面ABCD；
（3）延長FE與DC延長線交于點N，連接AN交BC于點O，可得∠ANF是EF與平面ABCD所成的角．Rt△AFN中，根據(jù)正切在直角三角形中的定義，算出tan∠ANF=

AF

AN

=

15

5

，即得EF與平面ABCD所成角正切值．

解答：解：（1）取FD中點為G，連接GE，則
∵梯形DCEF中，DG∥CE且DG=CE=1
∴四邊形DCEF是平行四邊形，
∴GE∥DC且 GE=DC，
∵AB∥DC且AB=DC，
∴GE∥AB且AB=GE，
∴四邊形ABEG為平行四邊形，得AG∥BE，
∵AG?平面BEF，BE?平面BEF，
∴AG∥平面BEF．
 （2）∵△FDA中，∠FDA=60°，AD=1，DF=2
∴AF²=AD²+DF²-2AD•DF∠FDA=3，得AF²+AD²=DF²，
由此可得AF⊥AD，
∵AD⊥AB，DF⊥AB，AD、DF是平面ADF內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面ADF，結(jié)合AF?平面ADF，得AF⊥AB
∵AB、AD是平面ABCD內(nèi)的相交直線
∴AF⊥面ABCD；
（3）延長FE與DC延長線交于點N，連接AN交BC于點O．
∵AF⊥面ABCD，
∴AN是直線EF在平面ABCD內(nèi)的射影，∠ANF是EF與平面ABCD所成的角．
∵EC是△FDN的中位線，
∴C為DN的中點．而BC∥AD，所以O(shè)為AN中點．
正方形ABCD中，可得AO=

AB2+OB2

=

5

2

，AN=2AO=

5

∴Rt△AFN中，tan∠ANF=

AF

AN

=

15

5

，即EF與平面ABCD所成角正切值為

15

5

．

點評：本題以翻折問題為例給出特殊四棱錐，求證線面平行、線面垂直，并求直線與平面所成的角，著重考查了線面垂直的判定、線面平行的判定和求直線與平面的夾角等知識，屬于中檔題．