Question

已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、F、 在直線上的射影依次為點(diǎn)、、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交y軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接、，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ  （Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)， 的值為定值；    （Ⅲ）當(dāng)變化時(shí)，與相交于定點(diǎn)  

【解析】（Ⅰ）由題設(shè)條件能夠求出c=1，b= 3，從而求出橢圓C的方程．

（Ⅱ）設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)λ₁+λ₂的值．

（Ⅲ）由題設(shè)條件想辦法證明點(diǎn)N在既直線lAE上，又在直線lBD上，∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)