Question

如圖,等腰直角三角形ABC的斜邊AB在x軸上,原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),|AB|=4,D是OC的中點(diǎn).以A、B為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)D.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點(diǎn)C的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)M在點(diǎn)C、N之間,且CM=λCN,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

解:(1)在等腰直角三角形ABC中,因?yàn)樾边厊AB|=4,

所以|OA|=|OB|=|OC|=2.

所以橢圓的半焦距c=2.

因?yàn)镈是OC的中點(diǎn),所以橢圓的短半軸長b=1,

所以橢圓的長半軸長a=.

所以橢圓E的方程為+y²=1.

(2)設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),則=(x₁,y₁-2),=(x₂,y₂-2).

由=λ,得(x₁,y₁-2)=λ(x₂,y₂-2).

所以                         ①

因?yàn)辄c(diǎn)M、N都在橢圓+y²=1上,

所以                              ②

將①代入②得

消去x₂,得(λy₂-2λ+2)²-λ²y₂²=1-λ².

所以y₂=.

根據(jù)題意,得-1≤y₂≤1,

所以-1≤≤1.

解得≤λ≤3.                                  ③

因?yàn)辄c(diǎn)M在點(diǎn)C、N之間,且=λ,

所以0＜λ＜1.                                 ④

根據(jù)③④,得≤λ＜1.