Question

如圖，M，N，K分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中點．
（1）求證：AN∥平面A₁MK；
（2）求證：平面A₁B₁C⊥平面A₁MK．

Answer 1

【答案】分析：對于（1），要證明AN∥平面A₁MK，只需證明AN平行于平面A₁MK內(nèi)的一條直線，容易證明AN∥A₁K，從而得到證明；
對于（2），要證明平面A₁B₁C⊥平面A₁MK，只需證明平面A₁MK內(nèi)的直線MK垂直于平面A₁B₁C即可，而BC₁∥MK容易證明，
從而問題得以解決．
解答：證明：（1）連接KN，由于K、N為CD，C₁D₁、CD的中點，所以KN平行且等于AA_1，
AA₁KN為平行四邊形⇒AN∥A₁K，而A₁K?平面A₁MK，AN?平面A₁MK，從而AN∥平面A₁MK．
（2）連接BC₁，由于K、M為AB、C₁D₁的中點，所以KC₁與MB平行且相等，
從而KC₁MB為平行四邊形，所以MK∥BC₁，而BC₁⊥B₁C，BC₁⊥A₁B₁，從而
BC₁⊥平面A₁B₁C，所以：
⇒MK⊥面A₁B₁C⇒面A₁B₁C⊥面A₁MK．
點評：本題考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用，要注意其中的轉化思想的應用，
即：將線面平行轉化為線線平行，將面面垂直轉化為線面垂直．