Question

（2013•嘉興一模）已知橢圓C：

x2

2

+y2=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，O為原點．
（Ⅰ）如圖①，點M為橢圓C上的一點，N是MF₁的中點，且NF₂丄MF₁，求點M到y(tǒng)軸的距離；
（Ⅱ）如圖②，直線l：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點，若在橢圓C上存在點R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出兩個焦點的坐標(biāo)，設(shè)出M點的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式求出N點的坐標(biāo)，則有兩向量

F1M

，

F2N

的坐標(biāo)，根據(jù)NF₂丄MF₁，由它們對應(yīng)的數(shù)量積等于0即可求得M點的坐標(biāo)，則點M到y(tǒng)軸的距離；
（Ⅱ）設(shè)出P，Q點的坐標(biāo)，根據(jù)OPRQ為平行四邊形，把R的坐標(biāo)用P，Q點的坐標(biāo)表示，然后把替換后的R的坐標(biāo)代入橢圓方程(1+2k2)(x1+x2)2+8km(x1+x2)+8m2=2，再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩點P，Q的橫坐標(biāo)之和，代入上面的方程即可得到m與k的關(guān)系，由此可以求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=1，所以c=1，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
設(shè)M（x₀，y₀），則MF₁的中點為N(

x0-1

2

，

y0

2

)，

F1M

=(x0+1，y0)，

F2N

=(

x0-3

2

，

y0

2

)．
∵M(jìn)F₁⊥NF₂，∴

F1M

•

F2N

=0，即(x0+1，y0)•(

x0-3

2

，

y0

2

)=0，
∴x02-2x0-3+y02=0    （1）
又有

x02

2

+y02=1  （2）
由（1）、（2）解得x0=2-2

2

或x0=2+2

2

（舍去）
所以點M 到y(tǒng)軸的距離為2

2

-2．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∵OPRQ為平行四邊形，∴x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R．
∵R點在橢圓上，∴

xR2

2

+yR2=1，即

(x1+x2)2

2

+(y1+y2)2=1，
即

(x1+x2)2

2

+[k(x1+x2)+2m]2=1，
化簡得，(1+2k2)(x1+x2)2+8km(x1+x2)+8m2=2  （3）．
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0，得2k²+1＞m²  （4），
且x1+x2=-

4km

1+2k2

．                          
代入（3）式，得

16(1+2k2)k2m2

(1+2k2)2

-

32k2m2

1+2k2

+8m2=2，
化簡得4m²=1+2k²，代入（4）式，得m≠0．
又4m²=1+2k²≥1，解得m≤-

1

2

或m≥

1

2

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，訓(xùn)練了整體代換思想，訓(xùn)練了學(xué)生的計算能力，特別是（Ⅱ）中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是解決該題的關(guān)鍵所在．此題屬于難題．