Question

對a、b∈R，記max{a，b}=

a，a≥b b，a＜b

，函數(shù)f（x）=max{|x+1|，|2x+5|}（x∈R）．
（1）求f（0），f（-3）；
（2）作出f（x）的圖象，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m有且僅有兩個不等的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給條件通過比較|x+1|、|2x+5|哪一個更大，先畫出f（x）的圖象，再求出f（x）當x=0或x=-3時的函數(shù)值，
（2）結(jié)合圖象寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）先據(jù)此函數(shù)的圖象得到f（x）_min=f（-2）=1，然后根據(jù)圖象交點的情況即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：f（x）圖象如圖中粗線所示…（4分）
（1）f（0）=max{1，5}=5，f（-3）=max{2，1}=2；…（4分）
（2）由圖象可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2]，單調(diào)增區(qū)間為[-2，+∞）；…（3分）
（3）f（x）_min=f（-2）=1，由f（x）圖象可知當m＞1時方程f（x）=m有且僅有兩個不等的解．…（3分）

點評：本題主要考查函數(shù)的最值及其幾何意義．這種先給出定義，讓根據(jù)條件求解析式是經(jīng)常考到點．數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．