Question

若函數(shù)f（x）與g（x）=2^-x互為反函數(shù)，則f（3+2x-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間是

[1，3）

．

Answer 1

分析：先求出g（x）的反函數(shù)f（x），然后可得f（3+2x-x²）的定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可求得函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：令y=2^-x，則-x=log₂y，∴x=-log₂y，
∴g（x）的反函數(shù)：f（x）=-log₂x，
則f（3+2x-x²）=-log2(3+2x-x2)，
由3+2x-x²＞0，得-1＜x＜3，
∴f（3+2x-x²）的定義域為（-1，3），
f（3+2x-x²）可看作由y=-log₂t和t=3+2x-x²復(fù)合而成的，
∵y=-log₂t單調(diào)遞減，t=3+2x-x²在（-1，1]上遞增，在[1，3）上遞減，
∴f（3+2x-x²）在（-1，1]上遞減，在[1，3）上遞增，
∴f（3+2x-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，3）．
故答案為：[1，3）．

點評：本題考查反函數(shù)概念、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，準(zhǔn)確理解“同增異減”四字含義是判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵，注意單調(diào)區(qū)間必為定義域的子集．