Question

【題目】已成橢圓 的左右頂點(diǎn)分別為 ，上下頂點(diǎn)分別為 ，左右焦點(diǎn)分別為 ，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且圓 為菱形 的內(nèi)切圓．
（1）求橢圓 的方程；
（2）點(diǎn) 為 軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作橢圓 的切線 ，記右焦點(diǎn) 在 上的射影為 ，若 的面積不小于 ，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知 ，所以 ，

所以 ，則

直線 的方程為 ，即 ，

所以 ，解得 ，

故橢圓 的方程為 ；

（2）

由題意，可設(shè)直線 的方程為 ，

聯(lián)立 消去 得 ，（*）

由直線 與橢圓 相切，得 ，

化簡(jiǎn)得 ，

設(shè)點(diǎn) ，由（1）知 ，則

，解得 ，

所以 的面積 ，

代入 消去 化簡(jiǎn)得 ，

所以 ，解得 ，即 ，

從而 ，又 ，所以 ，

故 的取值范圍為 .

【解析】（1）圓O為菱形 的內(nèi)切圓，則原點(diǎn)到直線 的距離等于圓O的半徑；（2）設(shè)直線 的方程為 ，與橢圓聯(lián)立，直線l與橢圓相切，則判別式為0，列出關(guān)于m，n的方程。設(shè)點(diǎn) ，表示出 的面積，根據(jù)題意 的面積不小于 ，求出n的取值范圍。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的概念和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．