Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

4x

2+4x

，
（1）用定義證明：函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)．

Answer 1

分析：（1）直接利用用定義，通過f（x₁）-f（x₂）化簡(jiǎn)表達(dá)式，比較出大小即可證明函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)性；
（2）化簡(jiǎn)f（t）+f（1-t），證明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末兩項(xiàng)的和為1，利用倒序相加法，求出f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)．

解答：解：（1）證明：設(shè)任意x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

4x1

2+4x1

-

4x2

2+4x2

=

2(4x1-4x2)

(2+4x1)(2+4x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函數(shù)                                   …（6分）
（2）對(duì)任意t，f（t）+f（1-t）=

4t

2+4t

-

4t-1

2+4t-1

=

4t

2+4t

-

4

24t+4

=

2+4t

2+4t

=1．
∴對(duì)于任意t，f（t）+f（1-t）=1                                 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(

1

2012

)+f(

2011

2012

)=1，f(

2

2012

)+f(

2010

2012

)=1，
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)+f(

2011

2012

)+f(

2010

2012

)+f(

2009

2012

)+…+f(

1

2012

)=2011，
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)=

2011

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，值域倒序相加法的應(yīng)用．