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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=
          4x
          2+4x
          ,
          (1)用定義證明:函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù);
          (2)證明:對任意的實數(shù)t,都有f(t)+f(1-t)=1;
          (3)求值:f(
          1
          2012
          )+f(
          2
          2012
          )+f(
          3
          2012
          )+
          +f(
          2011
          2012
          )
          分析:(1)直接利用用定義,通過f(x1)-f(x2)化簡表達(dá)式,比較出大小即可證明函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)性;
          (2)化簡f(t)+f(1-t),證明它的值是1即可;
          (3)由(2),f(t)+f(1-t)=1,求出首末兩項的和為1,利用倒序相加法,求出f(
          1
          2012
          )+f(
          2
          2012
          )+f(
          3
          2012
          )+
          +f(
          2011
          2012
          )
          解答:解:(1)證明:設(shè)任意x1<x2
          則f(x1)-f(x2)=
          4x1
          2+4x1
          -
          4x2
          2+4x2
          =
          2(4x1-4x2)
          (2+4x1)(2+4x2)
          ,
          ∵x1<x2,
          4x14x2,∴4x1-4x2<0,
          2+4x1>0,2+4x2>0
          ∴f(x1)-f(x2)<0,
          ∴f(x1)<f(x2),…(4分)
          ∴f(x)在R上是增函數(shù)                                   …(6分)
          (2)對任意t,f(t)+f(1-t)=
          4t
          2+4t
          -
          4t-1
          2+4t-1
          =
          4t
          2+4t
          -
          4
          24t+4
          =
          2+4t
          2+4t
          =1.
          ∴對于任意t,f(t)+f(1-t)=1                                 …(10分)
          (3)∵由(2)得f(t)+f(1-t)=1
          f(
          1
          2012
          )+f(
          2011
          2012
          )=1
          ,f(
          2
          2012
          )+f(
          2010
          2012
          )=1

          f(
          1
          2012
          )+f(
          2
          2012
          )+f(
          3
          2012
          )+…+f(
          2011
          2012
          )
          +f(
          2011
          2012
          )+f(
          2010
          2012
          )+f(
          2009
          2012
          )+…+f(
          1
          2012
          )
          =2011,
          f(
          1
          2012
          )+f(
          2
          2012
          )+f(
          3
          2012
          )+…+f(
          2011
          2012
          )
          =
          2011
          2
          …(14分)
          點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明,函數(shù)值的求法,考查計算能力,值域倒序相加法的應(yīng)用.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          4x+2
          x2-1
          -
          3
          x-1
          (x>1)
          a-1(x≤1)
          在點x=1處連續(xù),則a=( 。
          A、、
          1
          2
          B、)
          2
          3
          C、)
          4
          3
          D、)
          3
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          -4x,x≤0
          x2,x>0
          ,若f(a)=4
          ,則實數(shù)a=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          4x,x∈(-∞,1]
          log81x,x∈(1,+∞)
          f(
          1
          2
          )
          的值為
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          4x-1
          4x+1
          (1)解不等式f(x)<
          1
          3
          ;(2)求函數(shù)f(x)的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          4x(x≤0)
          log2x (x>0)
          ,則f(f(-1))的值為( 。
          A、2B、1C、-1D、-2

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