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        1. 給定整數(shù),證明:存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S,使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,數(shù)

            與 

          是互素的合數(shù).(這里分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個(gè)數(shù).)

          證明: 我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均.

          第一步,我們證明,正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì):對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集AB,有

          證明:對(duì)任意,,設(shè)正整數(shù)k滿足

                                 ,                         ①

          并設(shè)l是使的最小正整數(shù).我們首先證明必有

             事實(shí)上,設(shè)A中最大的數(shù),則由,易知A中至多有個(gè)元素,即,故.又由的定義知,故由①知.特別地有

          此外,顯然,故由l的定義可知.于是我們有

          ,則;否則有,則

                  

          由于A中最大元,故上式表明.結(jié)合即知

          現(xiàn)在,若有的兩個(gè)不同的非空子集A,B,使得,則由上述證明知,故,但這等式兩邊分別是A,B的元素和,利用易知必須A=B,矛盾.

          第二步,設(shè)K是一個(gè)固定的正整數(shù),,我們證明,對(duì)任何正整數(shù)x,正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì):對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集AB,數(shù)是兩個(gè)互素的整數(shù).

          事實(shí)上,由的定義易知,有的兩個(gè)子集,滿足,,且

                     .            ②

          顯然都是整數(shù),故由上式知都是正整數(shù).

          現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d的一個(gè)公約數(shù),則d的倍數(shù),

          故由②可知,但由K的選取及的構(gòu)作可知,是小于K的非零整數(shù),故它是的約數(shù),從而.再結(jié)合及②可知d=1,故互素.

          第三步,我們證明,可選擇正整數(shù)x,使得中的數(shù)都是合數(shù).由于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè),

          故可選擇n個(gè)互不相同且均大于K的素?cái)?shù).將中元素記為,

          ,且(對(duì)),

          故由中國(guó)剩余定理可知,同余方程組

          ,

          有正整數(shù)解.

              任取這樣一個(gè)解x,則相應(yīng)的集合中每一項(xiàng)顯然都是合數(shù).結(jié)合第二步的結(jié)果,這一n元集合滿足問(wèn)題的全部要求.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          給定整數(shù)n≥2,設(shè)M0(x0,y0)是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個(gè)交點(diǎn).試證明對(duì)任意正整數(shù)m,必存在整數(shù)k≥2,使(
          x
          m
          0
          ,y
          m
          0
          )為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個(gè)交點(diǎn).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1) 給定正整數(shù)n5,集合 An=.是否存在一一映射 : AnAn滿足條件:對(duì)一切k ( 1 k n-1 ) , 都有k | (1)+(2) +……+(k) ?    

          (2) N* 為全體正整數(shù)的集合,是否存在一一映射 : N* N* 滿足條件:對(duì)一切kN*, 都有k | (1)+(2) + ……+(k) ?

          證明你的結(jié)論 .

          注: 映射 : AB 稱為一一映射,如果對(duì)任意 bB,有且只有一個(gè) aA 使得 (a)=b . 題中“|”為整除符號(hào).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          給定整數(shù),證明:存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S,使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集AB,數(shù)

            與 

          是互素的合數(shù).(這里分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個(gè)數(shù).)

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          給定整數(shù),證明:存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S,使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,數(shù)  與 

          是互素的合數(shù).(這里分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個(gè)數(shù).)

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