Question

（2013•崇明縣一模）等軸雙曲線(xiàn)C：x²-y²=a²與拋物線(xiàn)y²=16x的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4

3

，則雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)等于（　　）

• A．

  2

• B．2

  2

• C．4
• D．8

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用|AB|=4

3

，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)等軸雙曲線(xiàn)C的方程為x²-y²=λ．（1）
∵拋物線(xiàn)y²=16x，2p=16，p=8，∴

p

2

=4．
∴拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-4．
設(shè)等軸雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-4的兩個(gè)交點(diǎn)A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
則|AB|=|y-（-y）|=2y=4

3

，∴y=2

3

．
將x=-4，y=2

3

代入（1），得（-4）²-（2

3

）²=λ，∴λ=4
∴等軸雙曲線(xiàn)C的方程為x²-y²=4，即

x2

4

-

y2

4

=1
∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)，雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．