Question

已知x，y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 x≤3

，使z=ax+y取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為（　�。�

• A、-3
• B、3
• C、-1
• D、1

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使z=ax+y取最小值的最優(yōu)解有無窮多個，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
若a=0，此時y=z，此時函數(shù)y=z只在B處取得最小值，不滿足條件．
若a＞0，則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＜0．
平移直線y=-ax+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-ax+z和直線x+y=1平行時，此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值時最優(yōu)解有無數(shù)多個，
此時-a=-1，即a=1．
若a＜0，則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＞0．
平移直線y=-ax+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-ax+z，此時目標(biāo)函數(shù)只在C處取得最小值，不滿足條件．
綜上a=1．
故選：D．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，利用z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進行分類討論．