Question

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=2-4|x-

1

2

|；當x＞1時，f（x）=af（x-1），a∈R，a為常數(shù)．下列有關函數(shù)f（x）的描述：
①當a=2時，f(

3

2

)=4；    
②當|a|＜1，函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]；
③當a＞0時，不等式f(x)≤2ax-

1

2

在區(qū)間[0，+∞）上恒成立；
④當-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2a^n-1（n∈N^*）在[0，n]內(nèi)的交點個數(shù)為n-

1+(-1)n

2

．
其中描述正確的個數(shù)有（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對于描述①，將a=2及x=

3

2

代入f（x）=af（x-1）中，再利用x∈[0，1]時的函數(shù)關系式，可得f(

3

2

)的值；
對于描述②，分“-1＜a＜0”，“a=0”，“0＜a＜1”三種情況，觀察f（x）圖象的最高點與最低點，可得函數(shù)的值域；
對于描述③，利用賦值法，可嘗試給定a一個較大的值代入，即可否定；
對于描述④，先考慮n=1，2，3，4時的情形，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用數(shù)學歸納法證明．

解答：解：由題意知，f(x)=

2-4|x- 1 2 |，0≤x≤1 af(x-1)，x＞1

．
在描述①中，由x＞1，將a=2及x=

3

2

代入f（x）=af（x-1）中，
得f(

3

2

)=2f(

3

2

-1)=2f(

1

2

)=2(2-4|

1

2

-

1

2

|)=4，可知描述①正確．
在描述②中，
（1）若0＜a＜1，當0≤x≤1時，f(x)=

4x，0≤x≤ 1 2 -4x+4， 1 2 ＜x≤1

，其圖象是一條折線段，
當x＞1時，則f（x）的圖象向右依次平移一個單位長度，
且每條折線段的轉(zhuǎn)折點到x軸的距離是上一條折線段的轉(zhuǎn)折點到x軸距離的a倍，
由f(

1

2

)=2知，0≤f（x）≤2．其圖象如圖1所示．
（2）若a=0，則f(x)=

2-4|x- 1 2 |，0≤x≤1 0，x＞1

，此時亦有0≤f（x）≤2．
（3）若-1＜a＜0，則f（x）的圖象向右依次平移一個單位長度，每條折線段在x軸上下交替出現(xiàn)，
且從第二段起，每條折線段的轉(zhuǎn)折點到x軸的距離是上一條折線段的轉(zhuǎn)折點到x軸距離的|a|倍，
此時，-2＜f（x）≤2．其圖象如圖2所示．
綜合（1），（2），（3）知，f（x）的值域為（-2，2]，所以描述②錯．
在描述③中，取a=4⁴，x=

1

4

，則f(

1

4

)=2-4|

1

4

-

1

2

|=1，
而2ax-

1

2

=2×(44)

1

4

-

1

2

=

1

2

＜1，故描述③錯．
在描述④中，由圖2知，
當n=1時，f（x）的圖象與直線y=2a^1-1即y=2在[0，1]內(nèi)的交點個數(shù)為1，即1-

1+(-1)1

2

；
當n=2時，f（x）的圖象與直線y=2a^2-1即y=2a在[0，2]內(nèi)的交點個數(shù)為1，即2-

1+(-1)2

2

；
當n=3時，f（x）的圖象與直線y=2a^3-1即y=2a²在[0，3]內(nèi)的交點個數(shù)為3，即3-

1+(-1)3

2

；
當n=4時，f（x）的圖象與直線y=2a^4-1即y=2a³在[0，4]內(nèi)的交點個數(shù)為3，即4-

1+(-1)4

2

；
…
由此猜想：當-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2a^n-1（n∈N^*）在[0，n]內(nèi)的交點個數(shù)為n-

1+(-1)n

2

．
現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明之．
（1）由上可知，當n=1時，猜想成立．
（2）假設n=k時，猜想成立，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2a^k-1（k∈N^*）在[0，k]內(nèi)的交點個數(shù)為k-

1+(-1)k

2

．
則當n=k+1時，如圖2所示，若k為奇數(shù)，則交點個數(shù)與n=k時情形相同；
若k為偶數(shù)，則交點個數(shù)在n=k時的基礎上增加2個，
所以當n=k+1時的交點個數(shù)在n=k時的基礎上增加了1+（-1）^k個，
從而交點個數(shù)為k-

1+(-1)k

2

+1+(-1)k=k+1-

1-(-1)k

2

，得(k+1)-

1+(-1)k+1

2

，
即當n=k+1時，猜想也成立．
綜合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正確．
故①④正確，選C．

點評：1．本題以絕對值函數(shù)為載體，考查了分段函數(shù)的解析式，值域及圖象，尤其是圖象間的平移與伸縮變換，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的運用與歸納推理能力．對分段函數(shù)問題，一般采取分段處理的方法，但“分段不分家”，應具備整體思想，必要時可畫出圖形結(jié)合分析．值得注意的是，在臨界點處的情形應該謹慎對待．
2．要說明一個命題為真，必須有嚴密的邏輯推理；要說明一個命題為假，只需舉一反例即可．