Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，0）與點(diǎn)（1，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線PA，PB，交橢圓于A，B．
①證明直線AB經(jīng)過定點(diǎn)；
②求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，解得 ，

∴橢圓方程為

（2）①證明：由對稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在x軸上，

當(dāng)kPA=1時(shí)，lPA：y=x+2，

聯(lián)立 ，得x2+3x+2=0，解得x=﹣1．

下面驗(yàn)證定點(diǎn)為（1，0）．

設(shè)直線PA的方程為y=k（x+2），

聯(lián)立 ，得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣4=0，

解得： ．

同理可得： ．

則 ，即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，0）；

②解：由題意可知，直線不與x軸平行，設(shè)直線AB方程為x=ty﹣1．

聯(lián)立 ，得（t2+3）y2﹣2ty﹣3=0．

∴ ，

∴ = ．

令 ，λ∈[3，+∞），則 ．

∴ ．

當(dāng)且僅當(dāng)λ=3，即t=0時(shí)成立

【解析】（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求解方程組可得a，b，則橢圓的方程可求；（2）①由對稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在x軸上，求出PA所在直線斜率為1時(shí)AB所過定點(diǎn)，驗(yàn)證得答案；②設(shè)直線AB方程為x=ty﹣1．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合弦長公式求得面積，換元后利用基本不等式求最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．