Question

【題目】如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當成等比數列時，稱曲線為“貓眼曲線”.若貓眼曲線過點，且的公比為.

（1）求貓眼曲線的方程；

（2）任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為，交橢圓所得弦的中點為，求證：為與無關的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，為橢圓上的任意一點（點與點不重合），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

試題（1）求橢圓標準方程，一般方法為待定系數法，由題意得，再由成等比數列，且公比為得（2）弦中點問題，一般利用點差法得中點坐標與弦斜率關系：，，兩式相除得值為（3）由橢圓幾何意義得，過點且斜率為的直線與橢圓也相切，而直線與橢圓相切問題，一般利用判別式為零列等量關系，根據弦長公式可得底邊長，根據平行直線間距離公式可得高

試題解析：解. （1），，

，

（2）設斜率為的直線交橢圓于點，線段中點

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得證

（3）設直線的方程為

，

，

，

，

兩平行線間距離：

，

的面積最大值為