Question

已知函數(shù)f（x）=

3-x2

x

+alnx，且x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-m，試就實數(shù)m的不同取值，討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.61，ln3≈1.10）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f′（x）=-

3

x2

-1+

a

x

，及x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點得a=4．
（II）有函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，在令導(dǎo)函數(shù)大于零解出的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）由題意先求出函數(shù)f（x）的解析式，再利用令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是函數(shù)y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點個數(shù)，結(jié)合圖象即得．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-

3

x2

-1+

a

x

，
由x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點得：
f′（3）=-

1

3

-1-

a

3

=0⇒a=4．
（II）由（I）知：f′（x）=-

3

x2

-1+

4

x

，根據(jù)f′（x）＞0得：1＜x＜3；
由f′（x）＜0及x＞0得：0＜x＜1；或x＞3；
于是，（0，1）為其單調(diào)遞減區(qū)間；
（1，3）為其單調(diào)遞增區(qū)間；（ 3，+∝）為其單調(diào)遞減區(qū)間；
（III）令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是函數(shù)y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點個數(shù)，由下表結(jié)合圖象得

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
F′（x）	-	0	-	0	-
F（x）	減	極小值2	增	極大值4ln3-2	減	4ln5-22/5

當(dāng)m＜2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為0；
當(dāng)m=2或m＞4ln3-2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為1；
當(dāng)2＜m＜4ln5-

22

5

或m=4ln3-2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為2；
當(dāng)4ln5-

22

5

≤m＜4ln3-2時，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是為3；

點評：此題重點考查了函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，還考查了函數(shù)存在極值的條件及判斷方法．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想，同時考查學(xué)生的計算能力．