Question

已知函數(shù)f(x)=1+

2

x-1

，g(x)=f（2^x）
（1）用定義證明函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，通過作差比較g（x₁），g（x₂）的大小關(guān)系，根據(jù)減函數(shù)定義只需說明g（x₁）＞g（x₂）即可；
（2）根據(jù)第（1）問結(jié)論說明g（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求得其最小值．

解答：解：（1）g(x)=f(2x)=1+

2

2x-1

，
∵2^x-1≠0⇒x≠0，∴函數(shù)g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}，
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
則g(x1)-g(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1且2x1＜1，2x2＜1⇒g(x1)-g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知：函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，
∴當x=-1時，g(x)min=g(-1)=1+

2

2-1-1

=-3．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法．