Question

（2012•北京）已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同時滿足條件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
則m的取值范圍是

（-4，-2）

．

Answer 1

分析：①由于g（x）=2^x-2≥0時，x≥1，根據題意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1時成立，根據二次函數(shù)的性質可求
②由于x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，則f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）時成立，結合二次函數(shù)的性質可求

解答：解：對于①∵g（x）=2^x-2，當x＜1時，g（x）＜0，
又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立
則由二次函數(shù)的性質可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點都在（1，0）的左面
則

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

∴-4＜m＜0即①成立的范圍為-4＜m＜0
又∵②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0
∴此時g（x）=2^x-2＜0恒成立
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，則只要-4比x₁，x₂中的較小的根大即可
（i）當-1＜m＜0時，-m-3＜-4不成立，
（ii）當m=-1時，有2等根，不成立
（iii）當-4＜m＜-1時，2m＜-4即m＜-2成立
綜上可得①②成立時-4＜m＜-2
故答案為：（-4，-2）

點評：本題主要考查了全稱命題與特稱命題的成立，指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質的應用是解答本題的關鍵