Question

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上， 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，平面上四個(gè)點(diǎn)， ， ， 中有兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上，另外兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線滿足以下條件：①過的焦點(diǎn)；②與交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】試題分析：（1）由題意，易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為， ，利用韋達(dá)定理，得到直線的方程。

試題解析：

（1）設(shè)拋物線，則有

據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知， 在拋物線上，

易得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)橢圓，把點(diǎn)， 代入可得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則

的焦點(diǎn). 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為

直線交橢圓于點(diǎn) ，不滿足題意

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由，消去得

于是①

由得 ②

將①代入②式，得 解得

所以存在直線滿足條件，且的方程為或.