Question

（2009•朝陽區(qū)二模）已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，右準線與一條漸近線的交點坐標為(

4

3

，

2 5

3

)．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過右焦點F的直線l（不與x軸重合）與雙曲線C交于M，N兩點，且直線AM、AN分別交雙曲線C的右準線于P、Q兩點，求證：

AP

•

AQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）雙曲線C的右準線為x=

a2

c

，漸近線為y=±

b

a

x．再由右準線與一條漸近線的交點坐標為(

4

3

，

2 5

3

)，解得a²=4，b²=5，c²=9．由此能求出雙曲線C的方程． 
（Ⅱ）由點F，A的坐標分別為（3，0），（-2，0），右準線為x=

4

3

．知當直線l斜率不存在時，點M，N的坐標分別為(3，

5

2

)，(3，-

5

2

)，則直線AM，AN方程分別為y=

1

2

(x+2)，y=-

1

2

(x+2)，

AP

•

AQ

=(

10

3

，

5

3

)•(

10

3

，-

5

3

)=

25

3

．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3）（k≠0），由

x2 4 - y2 5 =1 y=k(x-3)

得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．由此入手也能推導出

AP

•

AQ

=

25

3

．由此能夠證明

AP

•

AQ

為定值．

解答：（Ⅰ）解：雙曲線C的右準線為x=

a2

c

，漸近線為y=±

b

a

x．
因為右準線與一條漸近線的交點坐標為(

4

3

，

2 5

3

)，
所以

c2=a2+b2 a2 c = 4 3 b a • a2 c = 2 5 3

，
解得a²=4，b²=5，c²=9．
于是，雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1．            …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知點F，A的坐標分別為（3，0），（-2，0），右準線為x=

4

3

．
當直線l斜率不存在時，點M，N的坐標分別為(3，

5

2

)，(3，-

5

2

)，
則直線AM，AN方程分別為y=

1

2

(x+2)，y=-

1

2

(x+2)，
令x=

4

3

，得P，Q的坐標分別為(

4

3

，

5

3

)，(

4

3

，-

5

3

)，
此時

AP

•

AQ

=(

10

3

，

5

3

)•(

10

3

，-

5

3

)=

25

3

．
當直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-3）（k≠0），
由

x2 4 - y2 5 =1 y=k(x-3)

，
得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．
因為直線l與雙曲線C交于M，N兩點，
所以4k²-5≠0，△=24²k⁴-4（4k²-5）（36k²+20）=400（k²+1）＞0，
解得k≠±

5

2

．
設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

24k2

4k2-5

，x1x2=

36k2+20

4k2-5

，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
則直線AM，AN方程分別為y=

y1

x1+2

(x+2)，y=

y2

x2+2

(x+2)，
令x=

4

3

，得P，Q的坐標分別為(

4

3

，

10y1

3(x1+2)

)，(

4

3

，

10y2

3(x2+2)

)，
所以

AP

•

AQ

=(

10

3

，

10y1

3(x1+2)

)•(

10

3

，

10y2

3(x2+2)

)=

100

9

[1+

y1y2

(x1+2)(x2+2)

]
=

100

9

[1+

k2x1x2-3k2(x1+x2)+9k2

x1x2+2(x1+x2)+4

]
=

100

9

[1+

k2( 36k2+20 4k2-5 - 72k2 4k2-5 +9)

36k2+20 4k2-5 + 48k2 4k2-5 +4

]
=

100

9

(1+

-25k2 4k2-5

100k2 4k2-5

)=

25

3

．
所以，

AP

•

AQ

為定值

25

3

．                 …（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，難度大，是高考的重點，易出錯．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．