Question

已知雙曲線的漸近線方程y=±

2

3

x，且過點（3，4），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

12

-

x2

27

=1

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的漸近線方程y=±

2

3

x，設(shè)其方程為（y+

2

3

x）（y-

2

3

x）=λ（λ≠0），將點（3，4）代入算出λ=12，可得雙曲線方程為y2-

4

9

x2=12，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案．

解答：解：∵雙曲線的漸近線方程y=±

2

3

x，即（y+

2

3

x）（y-

2

3

x）=0，
∴設(shè)雙曲線的方程為（y+

2

3

x）（y-

2

3

x）=λ（λ≠0），即y2-

4

9

x2=λ，
∵點（3，4）在雙曲線上，∴42-

4

9

×32=λ，解之得λ=12．
因此，雙曲線的方程為y2-

4

9

x2=12，化成標(biāo)準(zhǔn)方程得

y2

12

-

x2

27

=1．
故答案為：

y2

12

-

x2

27

=1

點評：本題給出雙曲線經(jīng)過定點，在已知漸近線的情況下求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．