Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間是和，減區(qū)間是（2）

【解析】

（1）由，求導(dǎo).再令求解.

（2），.當(dāng)時(shí)，，易證只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)， 易證極小值.又，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，使.當(dāng)時(shí)， .取，則，則由，又存在一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，得或.分，，討論.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

.

令，解得或.

函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.

（2），.

當(dāng)時(shí)，，只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)時(shí)，.

時(shí)，，為減函數(shù)；

時(shí)，，為增函數(shù)，

極小值.

又，

當(dāng)時(shí)，，使.

當(dāng)時(shí)，，，

.

取，則，

，

函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，由，得或.

①當(dāng)，即時(shí)，

由，得或，

在和遞增，

在遞減.

極大值.

函數(shù)至多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，

至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

③當(dāng)，即時(shí)，

由，得或，

在和遞增，在遞減.

，時(shí)，，

.

又，函數(shù)至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

綜上，的取值范圍是.