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        1. 已知函數(shù)f(x)=sin2
          π
          4
          x-
          3
          sin
          π
          4
          x•cos
          π
          4
          x

          (1)求f(x)的最大值及此時x的值;
          (2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值.
          分析:(1)由題意可得:f(x)=
          1
          2
          -sin(
          π
          2
          x+
          π
          6
          )
          ,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質得到當x=4k-
          4
          3
          (k∈z)
          時,函數(shù)有最大值,進而得到答案.
          (2)由(1)可得:(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1,又函數(shù)的周期為4,并且f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=502×[(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1),進而得到答案.
          解答:解:(1)由題意可得:
          f(x)=
          1
          2
          -
          1
          2
          cos
          π
          2
          x-
          3
          2
          sin
          π
          2
          x=
          1
          2
          -sin(
          π
          2
          x+
          π
          6
          )

          所以當
          π
          2
          x+
          π
          6
          =2kπ+
          π
          2
          ,即x=4k-
          4
          3
          (k∈z)
          時,函數(shù)有最大值即f(x)max=
          3
          2

          (2)由(1)可得:f(1)=
          1-
          3
          2
          ,f(2)=0,f(3)=
          1+
          3
          2
          ,f(4)=0,
          所以(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.
          又因為函數(shù)f(x)的周期為4,
          所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)
          =502×[(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+
          1-
          3
          2

          =
          2009-
          3
          2
          點評:本題主要考查二倍角公式,以及正弦函數(shù)的有關性質,此題屬于中檔題型,學生解題細心計算得到全分并不難.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當x=
          π
          3
          時,取得極小值
          π
          3
          -
          3

          (1)求a,b的值;
          (2)對任意x1x2∈[-
          π
          3
          ,
          π
          3
          ]
          ,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設直線l:y=g(x),曲線S:y=F(x),若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;②對任意x∈R都有g(x)≥F(x),則稱直線l與曲線S的“上夾線”.觀察下圖:

          根據(jù)上圖,試推測曲線S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夾線”的方程,并作適當?shù)恼f明.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-blnx在(1,2]是增函數(shù),g(x)=x-b
          x
          在(0,1)為減函數(shù).
          (1)求b的值;
          (2)設函數(shù)φ(x)=2ax-
          1
          x2
          是區(qū)間(0,1]上的增函數(shù),且對于(0,1]內(nèi)的任意兩個變量s、t,f(s)≥?(t)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=cos( 2x+
          π
          3
          )+sin2x.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
          (Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足2
          AC
          CB
          =
          2
          ab,c=2
          2
          ,f(A)=
          1
          2
          -
          3
          4
          ,求△ABC的面積S.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)已知矩陣A=
          a2
          1b
          有一個屬于特征值1的特征向量
          α
          =
          2
          -1

          ①求矩陣A;
          ②已知矩陣B=
          1-1
          01
          ,點O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積.
          (2)已知在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為
          x=t-3
          y=
          3
           t
          (t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0.
          ①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程;
          ②設點P是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的取值范圍.
          (3)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|.
          ①求不等式f(x)≥3的解集;
          ②若關于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a
          2x
          +xlnx
          ,g(x)=x3-x2-x-1.
          (1)如果存在x,x∈[0,2],使得g(x)-g(x)≥M,求滿足該不等式的最大整數(shù)M;
          (2)如果對任意的s,t∈[
          1
          3
          ,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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