Question

已知橢圓，過點(diǎn)且離心率為.
求橢圓的方程；
已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，連接角橢圓于點(diǎn)，在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓經(jīng)過直線和直線的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，

解析試題分析：（1）由離心率，所以①，再把點(diǎn)代入橢圓中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可寫出橢圓方程；
假設(shè)存在，設(shè)，則直線的方程， 可得， 并設(shè)定點(diǎn)，由題目得：，直線與直線斜率之積為-1，即 ，化簡得 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/8/w2fqu1.png" style="vertical-align:middle;" /> ，得，可求出，繼而得到定點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo).
（1）由題意得
 得 ，                   
所以，橢圓方程為      
（2）設(shè)，則直線的方程，  
可得，
設(shè)定點(diǎn)，，
，即 ，
        
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/8/w2fqu1.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以
進(jìn)而求得，故定點(diǎn)為.            
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線的綜合問題.