Question

已知向量

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積，二倍角公式兩角差的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）確定函數(shù)f(x)在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間，然后求出函數(shù)的最大值最小值，即可確定函數(shù)的值域．

解答：解：（1）

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，∴函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1
=(2，-

3

cosx)•(cos2x，2sinx)=2cos²x-2

3

sinxcosx-1
=cos2x-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．
由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ  k∈Z．即kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

   k∈Z
函數(shù)單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]k∈Z
 （2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[-

2π

3

，-

π

6

]單調(diào)遞增，f(x)在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞減；又∵f(-

π

3

) =1， f(

π

6

) =-1
所以函數(shù)f（x）在[-

2π

3

，-

π

6

]上：f(x)max= f(-

π

6

) =2，
f(x)min= f(

π

6

) =-1
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的值域[-1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，單調(diào)區(qū)間的求法，最值的求法，考查計(jì)算能力，注意函數(shù)值域的確定中，區(qū)間的討論，單調(diào)性的應(yīng)用是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．