Question

如下圖三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°,D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，延長BE交AC于F，連結(jié)DF，求證：∠ADB=∠FDC.

Answer 1

思路分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量平行和垂直的條件及向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為證明兩向量的夾角相等.

解析：如題圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），C（0，2），則D（0，1），于是=（-2，1），=（-2，2），設(shè)F（x,y）,由⊥，得·=0，即（x,y）·(-2,1)=0,

∴-2x+y=0.①

又F點(diǎn)在AC上，則∥.

而=（-x,2-y）,因此2（-x）-(-2)(2-y)=0,

即x+y=2.②

由①②式解得x=,y=,

∴F(,),=(,),=(0,1)·=,

又·=||||cosθ=cosθ,

∴cosθ=,即cos∠FDC=,

又cos∠ADB=,∴cos∠ADB=cos∠FDC,

故∠ADB=∠FDC.

溫馨提示

    在解題中要注意題目的隱含條件.如本題中點(diǎn)F滿足的關(guān)系除了BF⊥AD,還有F點(diǎn)在AC上.點(diǎn)在直線上問題往往轉(zhuǎn)化成兩向量共線，利用兩向量共線的條件求解.