Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分別為C₁D₁、A₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AF∥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC從而得到線面垂直．
（Ⅱ）要證線面平行，需要構(gòu)造線面平行的判定定理的條件：在平面BDE內(nèi)找一條與AF平行的直線，通過平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化可的線線平行繼而得到線面平行．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵BC⊥側(cè)面CDD₁C₁，DE?側(cè)面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=

2

a，則有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）證明：連EF、A₁C₁，連AC交BD于O，
∵EF

∥ .

.

1

2

A1C1，AO

∥ .

.

1

2

A1C1，
∴四邊形AOEF是平行四邊形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，是個(gè)中檔題，注意輔助線的作法．